jueves, 23 de octubre de 2014
Razones y proporciones
Llamamos razón al cociente indicado de dos números:
son razones que como ves, se tratan de divisiones que están indicadas, sin calcular su resultado.
Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:
Es una proporción porque tenemos igualadas dos razones; 
es otra proporción porque tenemos la igualdad de dos razones.
La proporción: se lee: ‘a’ ES‘b’ COMO’c’ES a ‘d’.
se lee: ‘a’ ES‘b’ COMO’c’ES a ‘d’.
En la vida de cada día vemos que muchas cosas son proporcionales:
1) Velocidad de un automóvil con el consumo de gasolina (a más velocidad, mayor consumo de combustible).
2) Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a pagar).
3) Precio de un billete de tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más dinero pagaré por el billete).
Existen muchos otros ejemplos….
2) Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a pagar).
3) Precio de un billete de tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más dinero pagaré por el billete).
Existen muchos otros ejemplos….
Los componentes de una proporción se llaman: Extremos y medios.
Los extremos, como su nombre indican son el primero y último términos de la proporción.
Los medios, los que están entre los dos anteriores; segundo y tercerotérminos.
En la proporción:
, a y d son los extremos, b y c los
medios.
Los extremos, como su nombre indican son el primero y último términos de la proporción.
Los medios, los que están entre los dos anteriores; segundo y tercerotérminos.
En la proporción:
, a y d son los extremos, b y c losmedios.
1) En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
2) El cociente de las dos fracciones de una proporción siempre son iguales.(Porque las fracciones son equivalentes)
2) El cociente de las dos fracciones de una proporción siempre son iguales.(Porque las fracciones son equivalentes)
Veamos la siguiente proporción: 
1) El producto de los extremos es: 
2) El producto de los medios es:
2) El producto de los medios es:
El cociente de 
son iguales.
son iguales.
Al cociente de las fracciones de una proporción se llama constante de proporcionalidad (muy útil para resolver problemas que tratan de repartos proporcionales).
6.36 ¿Crees que 
y 
forman una proporción?
y forman una proporción?
Respuesta: Sí porque el producto de extremos es igual al producto de medios y porque se trata de fracciones equivalentes.
6.37 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en 
?
?
Respuesta: 
martes, 21 de octubre de 2014
jueves, 2 de octubre de 2014
miércoles, 1 de octubre de 2014
martes, 30 de septiembre de 2014
jueves, 25 de septiembre de 2014
viernes, 12 de septiembre de 2014
viernes, 5 de septiembre de 2014
jueves, 28 de agosto de 2014
miércoles, 27 de agosto de 2014
miércoles, 20 de agosto de 2014
miércoles, 6 de agosto de 2014
domingo, 3 de agosto de 2014
martes, 22 de julio de 2014
lunes, 7 de julio de 2014
martes, 20 de mayo de 2014
jueves, 24 de abril de 2014
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
Perpendiculares y paralelas
Perpendiculares
Simplemente significa en ángulos rectos (90°) con.La línea roja es perpendicular a la azul en estos dos casos:
 |  |
Paralelas
Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia (se llaman "equidistantes"), y no se van a encontrar nunca. (También apuntan en la misma dirección). Sólo recuerda:Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.
La línea roja es paralela a la azul en estos dos casos: |  | |
Ejemplo 1
|
Ejemplo 2
|
De perpendiculares a paralelas
Pregunta: ¿Qué diferencia hay entre perpendiculares y paralelas?Respuesta: 90 grados (un ángulo recto)
Es verdad, si giras una línea perpendicular 90° se volverá paralela (¡pero no si la toca!), y también al revés.
 |  |  |
Perpendiculares...
|
Girar una línea 90°
|
... ¡Paralelas!
|
Curvas paralelas
Las curvas también pueden ser paralelas cuando están siempre a la misma distancia (se llaman "equidistantes"), y nunca se encuentran. Como las vías de un tren.La curva roja es paralela a la azul en los dos casos:
 |  |
Superficies paralelas
Las superficies también pueden ser paralelas, siempre que se cumpla la regla: siempre a la misma distancia y sin tocarse nunca. |
miércoles, 23 de abril de 2014
miércoles, 9 de abril de 2014
jueves, 3 de abril de 2014
lunes, 31 de marzo de 2014
jueves, 20 de marzo de 2014
jueves, 13 de marzo de 2014
Resolución de problemas que impliquen multiplicación con cifras hasta de tres dígitos
Resolución de problemas que impliquen multiplicación con cifras hasta de tres dígitos
Todos los días contamos. Si vamos
a la tienda de la esquina o a la papelería, tenemos que preguntar el precio de
las cosas para saber si llevamos el dinero suficiente y para cuántas cosas nos
alcanza. Para no sumar tantas veces, es más conveniente utilizar la
multiplicación, pues las multiplicaciones son sumas abreviadas.
5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 veces 5 = 5 ´ 5 = 25
9 + 9 + 9 = 3 veces 9 = 3 ´ 9 = 27
Recuerda que todo número multiplicado por uno es igual al mismo
número y que todo número que se multiplica por cero es igual a cero.
1 x 6 = 1 vez 6 = 6
0 x 6 = 0 veces 6 o ninguna vez 6 = 0
Para multiplicar, podemos usar la tabla de
Pitágoras:
|
´
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
2
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
20
|
|
3
|
3
|
6
|
9
|
12
|
15
|
18
|
21
|
24
|
27
|
30
|
|
4
|
4
|
8
|
12
|
16
|
20
|
24
|
28
|
32
|
36
|
40
|
|
5
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
35
|
40
|
45
|
50
|
|
6
|
6
|
12
|
18
|
24
|
30
|
36
|
42
|
48
|
54
|
60
|
|
7
|
7
|
14
|
21
|
28
|
35
|
42
|
49
|
56
|
63
|
70
|
|
8
|
8
|
16
|
24
|
32
|
40
|
48
|
56
|
64
|
72
|
80
|
|
9
|
9
|
18
|
27
|
36
|
45
|
54
|
63
|
72
|
81
|
90
|
|
10
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
60
|
70
|
80
|
90
|
100
|
Por ejemplo, si multiplicamos 7 ´ 9,
buscamos el 7 horizontal y el 9 vertical. Donde se juntan está el número 63, que
corresponde al resultado; es decir, 7 ´ 9 = 63.
Ahora podemos resolver los siguiente problemas:
En la bodega de frutas y verduras del mercado hay 785 cajas con
24 manzanas cada una. ¿Cuántas manzanas hay en total?
Si multiplicamos 785 cajas por 24, que es el número de manzanas
que caben en cada caja, tendremos el resultado:
Un par de zapatos costó 365 pesos, ¿cuánto costarán 35 pares de
zapatos?
Para saber el resultado debemos multiplicar 365 por 35:
María Eugenia vendió 375 carteles a 82 pesos cada uno y 125
camisetas promocionales a 94 pesos cada una. ¿Cuánto dinero obtuvo en total?
Para saber cuánto dinero ganó, debemos realizar dos
multiplicaciones y una suma:
María Eugenia obtuvo $ 42 500.00.
Problemas con división
División con cifras hasta de tres dígitos. Problemas
A la manera o forma de encontrar el
cociente, multiplicarlo por el divisor, escribir el producto, restarlo del
dividendo y continuar así hasta que el residuo sea menor que el divisor se le
llama algoritmo de la división.
Ahora vamos a resolver algunos problemas utilizando esta
operación.
En una caja caben 12 balones. Con 125 balones, ¿cuántas cajas
se pueden llenar?, ¿cuántos balones sobrarán?
Para saberlo, necesitamos hacer una división en la que el
número de balones será el dividendo y la capacidad de cada caja será el
divisor:
125 / 12 = 10 y sobran 5 porque 12 X 10 = 120 y sobran 5
Es decir, llenaremos diez cajas con doce balones cada una y nos
sobrarán 5.
Para comprobar que el resultado (el cociente) de una división
es correcto, debemos multiplicar el divisor por el cociente y sumarle el
residuo. El resultado deberá ser el dividendo.
Un libro tiene 480 páginas. Si Alfonso lee 16 páginas diarias,
¿cuántos días tardará en terminar de leer el libro?
Para saberlo, debemos dividir el número de páginas del libro
entre el número de páginas que lee diariamente Alfonso:
En este caso, no sobra ninguna página, es decir, no tenemos
residuo.
Vamos a comprobar el resultado:
Ahora, realicemos otras divisiones:
Jorge tiene una papelería muy bonita y bien surtida. Siempre
procura mantenerla en orden para que toda la mercancía se vea y los clientes
puedan elegir lo que más les gusta y conviene. Hoy está muy ocupado porque
recibió mercancía nueva.
Jorge acomoda los cuadernos en cajas. Los organiza
por el número de hojas y también toma en cuenta si son de raya, de cuadrícula o
de hojas blancas. Si Jorge recibió 398 cuadernos rayados, 242 cuadriculados y
143 de hojas blancas y los acomoda en cajas contándolos de 22 en 22, ¿cuántos
grupos de 22 se formarán de cada tipo de cuaderno?
con residuo sin
residuo
División de números natrurales
División con números hasta de cuatro cifras
La división es una
operación numérica que se utiliza para resolver problemas como el siguiente:
¿Cuántos grupos de 6 objetos puedo hacer con 48 objetos?
6 x 8 = 48; entonces, 48 ÷ 6 = 8 grupos
La abuelita de
Juanito trabajó como maestra durante muchos años. Ahora, cada fin de mes acude
al banco para cobrar su pensión.
Ahí se encuentra
con otros compañeros que también van a cobrar sus cheques.
La cajera puede
pagar de maneras distintas las cantidades de los cheques de los pensionados; por
ejemplo, así le pudo haber pagado a don Alfredo y doña
Juliana:
|
El cheque de don Alfredo es por: $3 648.00 |
6 billetes de
$500, 6 billetes de $100, 4 monedas de $10 y 8 monedas de
$1.00
|
|
4 billetes de
$500, 5 billetes de $200, 1 billete de $100, 10 billetes de $50, 2 billetes de
$20 y 8 monedas de $1.00
| |
|
El cheque de doña Juliana
es por: $3 782.00 |
6 billetes de
$500, 7 billetes de $100, 1 billete de $50, 3 monedas de $10 y 2 monedas de
$1.00
|
|
2 billetes de
$500, 10 billetes de $200, 5 billetes de $50, 8 monedas de $10 y 2 monedas de
$1.00
|
El valor de un
número depende de la posición que ocupa en una cantidad. Las centenas de millar
ocupan el 6° lugar de derecha a izquierda.
|
C de millar
|
D de millar
|
U de millar
|
centena
|
decena
|
unidad
|
Cantidad
representada
|
|
1
|
1
|
8
|
2
|
3
|
5
| |
|
100
000
|
10
000
|
8
000
|
200
|
30
|
5
|
118
235
|
Las siguientes
cantidades están escritas en notación desarrollada:
|
$ 25
450
|
20
000
|
5
000
|
400
|
50
|
0
| |
|
$ 122
765
|
100
000
|
20
000
|
2
000
|
700
|
60
|
5
|
|
$ 118
235
|
100
000
|
10
000
|
8
000
|
200
|
30
|
5
|
Mientras
esperaba para cobrar su cheque, la abuelita de Juanito se dio cuenta que la niña
que estaba sentada a su lado tenía algunas dificultades para resolver un
problema, al parecer de la tarea. El problema era el
siguiente.
Si llegaron 1
600 huevos que hay acomodar en cartones y a cada cartón le caben 24 huevos,
¿cuántos cartones vamos a llenar?
La niña ya sabía
que como era un problema de reparto, tenía que hacer una división; la dificultad
que tenía, es que no entendía como resolver la operación.
La abuelita de
Juanito le recordó los pasos:
|
Primero:
|
"Tienes que ver
cuántos dígitos tiene el divisor y tomar los mismos dígitos del dividendo; en
este caso tienes dos afuera y tomas dos de adentro"
|
|
Segundo:
|
"Tienes que
buscar un número que multiplicado por la cantidad de afuera, su resultado te dé
la cantidad de adentro, ya sea exacta o la que más se aproxime, pero que no se
pase; en este caso es un número multiplicado por 24 que te dé 16. Como no hay,
pues 24 x 1 = 24 y se pasa de 16, se coloca un cero arriba del 6; entonces
tomamos ahora tres dígitos del dividendo y repetimos el paso anterior. Ahora
buscamos un número que multiplicado por 24 que nos dé o se acerque a 160.
24 x 6 = 6 = 144
o 24 x 7 = 168
Como verás, toca
a 6. Lo colocamos arriba del cero de 160 y multiplicamos y restamos como ya
sabes. Primero multiplicamos las unidades y las restamos a las unidades y luego
las decenas y las restamos a las decenas y centenas. Recuerda que estamos
considerando como dividendo sólo al 160 y que el residuo no debe ser igual o
mayor que el dividendo"
|
|
Tercero:
|
"Bajamos el
siguiente número junto al residuo que nos quedó; en este caso bajamos el cero
junto al 16 y ahora nuestro dividendo es 160."
Qué curioso –le
dijo la abuela- el nuevo dividendo es igual al dividendo anterior, pero no
siempre es así.
|
|
Cuarto:
|
"Repetimos el segundo y tercer paso, las veces que
sean necesarias para resolver la
operación".
|
"Entonces ya
sabes que se podrán llenar 66 cartones y sobran sin empaque 16
huevos"
Lectura y escritura de numeros hasta 150.000
Lectura y escritura hasta 150 000
Los símbolos para los números se
llaman cifras.
La escritura de números
Nuestro sistema de numeración se
llama sistema decimal.
El sistema decimal es un sistema
posicional que requiere de una base (en este caso 10), de unos valores en cada
posición y diez dígitos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Los valores se logran agrupando
unidades con base en el 10 (10 unidades valen una decena, 10 decenas valen una
centena, etcétera).
Ejemplo:
Un granjero tiene 1 millar, 5
decenas, 7 unidades y 3 centenas de vacas. ¿Cuántas vacas
tiene?
Primero, es necesario acomodar
los números de acuerdo al lugar que le corresponde de acuerdo con los
órdenes:
|
Unidades de
millar
|
centenas
|
decenas
|
unidades
|
|
1
|
3
|
5
|
7
|
Para leer más fácil un número se
divide en clases de tres en tres lugares, comenzando del punto hacia la
izquierda.
Resumen de la numeración de los
números enteros
|
Clase de los millares de
millón
|
Clase de
los
millones |
Clase de
los
millares |
Clase de la unidades
simples
| ||||||||
|
10º orden
|
9º orden
|
8º orden
|
7º orden
|
6º orden
|
5º orden
|
4º orden
|
3er orden
|
2º orden
|
1er
orden
| ||
|
unidad
|
centena
|
decena
|
unidad
|
centena
|
decena
|
unidad
|
centena
|
Decena
|
unidad
| ||
La escritura de números
· Una palabra: doce,
cien
· Una yuxtaposición: dieciséis
(10+6), veintidós (20+2)
· Una coordinación: treinta y
cuatro, cincuenta y cinco.
· Una multiplicación: cinco mil
(cinco veces mil).
Ejemplos:
Se escribe con cifras
veintiún mil ochenta:
21 080
Se escribe con letras 142
800:
Ciento cuarenta y dos mil
ochocientos
El sistema decimal es un sistema
de valor de posición. El valor de cada cifra está determinado por el lugar que
ocupa dentro del número.
En 3 570, la cifra 5 representa
un valor de 500.
En 5 246, la cifra 5 representa
un valor de 5 000.
Una de las propiedades del
conjunto de los números naturales es que es ordenado.
Sucesor es el número que sigue
inmediatamente de otro.
Antecesor es el número que
precede inmediatamente a otro.
Para encontrar el sucesor de un
número se le suma 1 y para hallar el antecesor se le resta 1.
|
—
1
|
+
1
| |
|
Antecesor
|
Cantidad
|
Sucesor
|
|
85 563
|
85 564
|
85565
|
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