lunes, 31 de marzo de 2014
jueves, 20 de marzo de 2014
jueves, 13 de marzo de 2014
Resolución de problemas que impliquen multiplicación con cifras hasta de tres dígitos
Resolución de problemas que impliquen multiplicación con cifras hasta de tres dígitos
Todos los días contamos. Si vamos
a la tienda de la esquina o a la papelería, tenemos que preguntar el precio de
las cosas para saber si llevamos el dinero suficiente y para cuántas cosas nos
alcanza. Para no sumar tantas veces, es más conveniente utilizar la
multiplicación, pues las multiplicaciones son sumas abreviadas.
5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 veces 5 = 5 ´ 5 = 25
9 + 9 + 9 = 3 veces 9 = 3 ´ 9 = 27
Recuerda que todo número multiplicado por uno es igual al mismo
número y que todo número que se multiplica por cero es igual a cero.
1 x 6 = 1 vez 6 = 6
0 x 6 = 0 veces 6 o ninguna vez 6 = 0
Para multiplicar, podemos usar la tabla de
Pitágoras:
|
´
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
2
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
20
|
|
3
|
3
|
6
|
9
|
12
|
15
|
18
|
21
|
24
|
27
|
30
|
|
4
|
4
|
8
|
12
|
16
|
20
|
24
|
28
|
32
|
36
|
40
|
|
5
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
35
|
40
|
45
|
50
|
|
6
|
6
|
12
|
18
|
24
|
30
|
36
|
42
|
48
|
54
|
60
|
|
7
|
7
|
14
|
21
|
28
|
35
|
42
|
49
|
56
|
63
|
70
|
|
8
|
8
|
16
|
24
|
32
|
40
|
48
|
56
|
64
|
72
|
80
|
|
9
|
9
|
18
|
27
|
36
|
45
|
54
|
63
|
72
|
81
|
90
|
|
10
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
60
|
70
|
80
|
90
|
100
|
Por ejemplo, si multiplicamos 7 ´ 9,
buscamos el 7 horizontal y el 9 vertical. Donde se juntan está el número 63, que
corresponde al resultado; es decir, 7 ´ 9 = 63.
Ahora podemos resolver los siguiente problemas:
En la bodega de frutas y verduras del mercado hay 785 cajas con
24 manzanas cada una. ¿Cuántas manzanas hay en total?
Si multiplicamos 785 cajas por 24, que es el número de manzanas
que caben en cada caja, tendremos el resultado:
Un par de zapatos costó 365 pesos, ¿cuánto costarán 35 pares de
zapatos?
Para saber el resultado debemos multiplicar 365 por 35:
María Eugenia vendió 375 carteles a 82 pesos cada uno y 125
camisetas promocionales a 94 pesos cada una. ¿Cuánto dinero obtuvo en total?
Para saber cuánto dinero ganó, debemos realizar dos
multiplicaciones y una suma:
María Eugenia obtuvo $ 42 500.00.
Problemas con división
División con cifras hasta de tres dígitos. Problemas
A la manera o forma de encontrar el
cociente, multiplicarlo por el divisor, escribir el producto, restarlo del
dividendo y continuar así hasta que el residuo sea menor que el divisor se le
llama algoritmo de la división.
Ahora vamos a resolver algunos problemas utilizando esta
operación.
En una caja caben 12 balones. Con 125 balones, ¿cuántas cajas
se pueden llenar?, ¿cuántos balones sobrarán?
Para saberlo, necesitamos hacer una división en la que el
número de balones será el dividendo y la capacidad de cada caja será el
divisor:
125 / 12 = 10 y sobran 5 porque 12 X 10 = 120 y sobran 5
Es decir, llenaremos diez cajas con doce balones cada una y nos
sobrarán 5.
Para comprobar que el resultado (el cociente) de una división
es correcto, debemos multiplicar el divisor por el cociente y sumarle el
residuo. El resultado deberá ser el dividendo.
Un libro tiene 480 páginas. Si Alfonso lee 16 páginas diarias,
¿cuántos días tardará en terminar de leer el libro?
Para saberlo, debemos dividir el número de páginas del libro
entre el número de páginas que lee diariamente Alfonso:
En este caso, no sobra ninguna página, es decir, no tenemos
residuo.
Vamos a comprobar el resultado:
Ahora, realicemos otras divisiones:
Jorge tiene una papelería muy bonita y bien surtida. Siempre
procura mantenerla en orden para que toda la mercancía se vea y los clientes
puedan elegir lo que más les gusta y conviene. Hoy está muy ocupado porque
recibió mercancía nueva.
Jorge acomoda los cuadernos en cajas. Los organiza
por el número de hojas y también toma en cuenta si son de raya, de cuadrícula o
de hojas blancas. Si Jorge recibió 398 cuadernos rayados, 242 cuadriculados y
143 de hojas blancas y los acomoda en cajas contándolos de 22 en 22, ¿cuántos
grupos de 22 se formarán de cada tipo de cuaderno?
con residuo sin
residuo
División de números natrurales
División con números hasta de cuatro cifras
La división es una
operación numérica que se utiliza para resolver problemas como el siguiente:
¿Cuántos grupos de 6 objetos puedo hacer con 48 objetos?
6 x 8 = 48; entonces, 48 ÷ 6 = 8 grupos
La abuelita de
Juanito trabajó como maestra durante muchos años. Ahora, cada fin de mes acude
al banco para cobrar su pensión.
Ahí se encuentra
con otros compañeros que también van a cobrar sus cheques.
La cajera puede
pagar de maneras distintas las cantidades de los cheques de los pensionados; por
ejemplo, así le pudo haber pagado a don Alfredo y doña
Juliana:
|
El cheque de don Alfredo es por: $3 648.00 |
6 billetes de
$500, 6 billetes de $100, 4 monedas de $10 y 8 monedas de
$1.00
|
|
4 billetes de
$500, 5 billetes de $200, 1 billete de $100, 10 billetes de $50, 2 billetes de
$20 y 8 monedas de $1.00
| |
|
El cheque de doña Juliana
es por: $3 782.00 |
6 billetes de
$500, 7 billetes de $100, 1 billete de $50, 3 monedas de $10 y 2 monedas de
$1.00
|
|
2 billetes de
$500, 10 billetes de $200, 5 billetes de $50, 8 monedas de $10 y 2 monedas de
$1.00
|
El valor de un
número depende de la posición que ocupa en una cantidad. Las centenas de millar
ocupan el 6° lugar de derecha a izquierda.
|
C de millar
|
D de millar
|
U de millar
|
centena
|
decena
|
unidad
|
Cantidad
representada
|
|
1
|
1
|
8
|
2
|
3
|
5
| |
|
100
000
|
10
000
|
8
000
|
200
|
30
|
5
|
118
235
|
Las siguientes
cantidades están escritas en notación desarrollada:
|
$ 25
450
|
20
000
|
5
000
|
400
|
50
|
0
| |
|
$ 122
765
|
100
000
|
20
000
|
2
000
|
700
|
60
|
5
|
|
$ 118
235
|
100
000
|
10
000
|
8
000
|
200
|
30
|
5
|
Mientras
esperaba para cobrar su cheque, la abuelita de Juanito se dio cuenta que la niña
que estaba sentada a su lado tenía algunas dificultades para resolver un
problema, al parecer de la tarea. El problema era el
siguiente.
Si llegaron 1
600 huevos que hay acomodar en cartones y a cada cartón le caben 24 huevos,
¿cuántos cartones vamos a llenar?
La niña ya sabía
que como era un problema de reparto, tenía que hacer una división; la dificultad
que tenía, es que no entendía como resolver la operación.
La abuelita de
Juanito le recordó los pasos:
|
Primero:
|
"Tienes que ver
cuántos dígitos tiene el divisor y tomar los mismos dígitos del dividendo; en
este caso tienes dos afuera y tomas dos de adentro"
|
|
Segundo:
|
"Tienes que
buscar un número que multiplicado por la cantidad de afuera, su resultado te dé
la cantidad de adentro, ya sea exacta o la que más se aproxime, pero que no se
pase; en este caso es un número multiplicado por 24 que te dé 16. Como no hay,
pues 24 x 1 = 24 y se pasa de 16, se coloca un cero arriba del 6; entonces
tomamos ahora tres dígitos del dividendo y repetimos el paso anterior. Ahora
buscamos un número que multiplicado por 24 que nos dé o se acerque a 160.
24 x 6 = 6 = 144
o 24 x 7 = 168
Como verás, toca
a 6. Lo colocamos arriba del cero de 160 y multiplicamos y restamos como ya
sabes. Primero multiplicamos las unidades y las restamos a las unidades y luego
las decenas y las restamos a las decenas y centenas. Recuerda que estamos
considerando como dividendo sólo al 160 y que el residuo no debe ser igual o
mayor que el dividendo"
|
|
Tercero:
|
"Bajamos el
siguiente número junto al residuo que nos quedó; en este caso bajamos el cero
junto al 16 y ahora nuestro dividendo es 160."
Qué curioso –le
dijo la abuela- el nuevo dividendo es igual al dividendo anterior, pero no
siempre es así.
|
|
Cuarto:
|
"Repetimos el segundo y tercer paso, las veces que
sean necesarias para resolver la
operación".
|
"Entonces ya
sabes que se podrán llenar 66 cartones y sobran sin empaque 16
huevos"
Lectura y escritura de numeros hasta 150.000
Lectura y escritura hasta 150 000
Los símbolos para los números se
llaman cifras.
La escritura de números
Nuestro sistema de numeración se
llama sistema decimal.
El sistema decimal es un sistema
posicional que requiere de una base (en este caso 10), de unos valores en cada
posición y diez dígitos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Los valores se logran agrupando
unidades con base en el 10 (10 unidades valen una decena, 10 decenas valen una
centena, etcétera).
Ejemplo:
Un granjero tiene 1 millar, 5
decenas, 7 unidades y 3 centenas de vacas. ¿Cuántas vacas
tiene?
Primero, es necesario acomodar
los números de acuerdo al lugar que le corresponde de acuerdo con los
órdenes:
|
Unidades de
millar
|
centenas
|
decenas
|
unidades
|
|
1
|
3
|
5
|
7
|
Para leer más fácil un número se
divide en clases de tres en tres lugares, comenzando del punto hacia la
izquierda.
Resumen de la numeración de los
números enteros
|
Clase de los millares de
millón
|
Clase de
los
millones |
Clase de
los
millares |
Clase de la unidades
simples
| ||||||||
|
10º orden
|
9º orden
|
8º orden
|
7º orden
|
6º orden
|
5º orden
|
4º orden
|
3er orden
|
2º orden
|
1er
orden
| ||
|
unidad
|
centena
|
decena
|
unidad
|
centena
|
decena
|
unidad
|
centena
|
Decena
|
unidad
| ||
La escritura de números
· Una palabra: doce,
cien
· Una yuxtaposición: dieciséis
(10+6), veintidós (20+2)
· Una coordinación: treinta y
cuatro, cincuenta y cinco.
· Una multiplicación: cinco mil
(cinco veces mil).
Ejemplos:
Se escribe con cifras
veintiún mil ochenta:
21 080
Se escribe con letras 142
800:
Ciento cuarenta y dos mil
ochocientos
El sistema decimal es un sistema
de valor de posición. El valor de cada cifra está determinado por el lugar que
ocupa dentro del número.
En 3 570, la cifra 5 representa
un valor de 500.
En 5 246, la cifra 5 representa
un valor de 5 000.
Una de las propiedades del
conjunto de los números naturales es que es ordenado.
Sucesor es el número que sigue
inmediatamente de otro.
Antecesor es el número que
precede inmediatamente a otro.
Para encontrar el sucesor de un
número se le suma 1 y para hallar el antecesor se le resta 1.
|
—
1
|
+
1
| |
|
Antecesor
|
Cantidad
|
Sucesor
|
|
85 563
|
85 564
|
85565
|
Lectura y escritura de numeros
Lectura y escritura de números hasta 50 000
Todos los números se clasifican
en órdenes, según la cantidad de cifras que tengan; por ello, los números de
cinco cifras pertenecen al quinto
orden.
Las unidades son las que se
escriben en el primer lugar de derecha a izquierda.
Las decenas van en el segundo
lugar de derecha a izquierda.
Las centenas son las que se
escriben en el tercer lugar de derecha a izquierda.
Las unidades de millar, en el
cuarto lugar de derecha a izquierda.
Las decenas de millar son las
que se escriben en el quinto lugar de derecha a izquierda.
|
Decenas de
millar
|
Unidades de
millar
|
centenas
|
decenas
|
unidades
|
|
|
4
|
9
|
7
|
8
|
5
| |
|
40
|
9 000
|
700
|
80
|
5
|
= 49
785
|
En los números de cinco cifras,
el quinto lugar de derecha a izquierda lo ocupan las decenas de
millar.
Algunas decenas de millar
posteriores al 10 000 (diez mil) son: 20 000 (veinte mil), 30 000 (treinta mil),
40 000 (cuarenta mil), 50 000 (cincuenta mil).
COMPARACIÓN DE NÚMEROS UTILIZANDO LOS SIGNOS
MAYOR QUE Y MENOR QUE
Si tenemos dos números con la
misma cantidad de cifras, por ejemplo: 20 512 y 35 829, y queremos saber cuál
número es mayor, primero debemos fijarnos en las cifras de mayor orden, es
decir, en las decenas y unidades de millar (que indican los millares) y después
en las de menor orden, las centenas, decenas y unidades.
En el siguiente ejemplo, el
signo mayor que (>) nos indica que cincuenta mil es mayor que cuarenta y un
mil trescientos diecinueve, y el signo menor que (<) nos señala que cuarenta
y un mil trescientos diecinueve es menor que cuarenta y nueve mil ciento
dieciséis.
50 000 > 41 319 < 49
116
Éstos son otros
ejemplos:
Veinticinco mil ciento cuatro es
menor que treinta y un mil novecientos ochenta y seis, y treinta y un mil
novecientos ochenta y seis es mayor que siete mil treinta y
seis:
25 104 < 31 986 > 7
036
Diez mil cuatro es mayor que
cuatro mil uno, y cuatro mil uno es mayor que mil cuarenta:
10 004 > 4 001 > 1
040
Trece mil novecientos
veintisiete es menor que dieciséis mil trescientos cuarenta y uno, y dieciséis
mil trescientos cuarenta y uno es menor que cincuenta mil:
13 927 < 16 341 < 50
000
miércoles, 12 de marzo de 2014
Números de seis cifras
NÚMEROS DE 6 CIFRAS
En un número de seis cifras, la primera cifra de la derecha son las unidades, la segunda las decenas, la tercera las centenas, la cuarta las unidades de millar, la quinta las decenas de millar y la sexta las centenas de millar.
La equivalencia entre ellas es:
1- Comparación de números de seis cifras:
¿Cuál es mayor y cual es menor?
Primero comenzamos comparando las centenas de millar, aquel que tenga la cifra mayor es el mayor.
Y si tuvieran la misma decena de millar, tendríamos que comparar la unidad de millar. Y si también tuvieran la misma unidad de millar, habría que comparar las centenas, y si también coincidieran habría que comparar las decenas, y si también fueran iguales las unidades.
1 Decena = 10 unidadesUn número, por ejemplo el 345.635, se puede descomponer:
1 Centena = 100 unidades
1 Unidad de millar = 1.000 unidades
1 Decena de millar = 10.000 unidades
1 Centena de millar = 100.000 unidades
3 centenas de millar = 3 x 100.000 = 300.000 unidadesPodemos comprobar que:
4 decenas de millar = 4 x 10.000 = 40.000 unidades
5 unidades de millar = 5 x 1.000 = 5.000 unidades
6 centenas = 6 x 100 =600 unidades
3 decenas = 3 x 10 = 30 unidades
5 unidad = 5 unidad
300.000 + 40.000 + 5.000 + 600 + 30 + 5 = 345.635
¿Cuál es mayor y cual es menor?
Primero comenzamos comparando las centenas de millar, aquel que tenga la cifra mayor es el mayor.
CM
|
DM
|
UM
|
C
|
D
|
U
| |
5
|
1
|
8
|
.
|
4
|
1
|
7
|
2
|
1
|
6
|
.
|
3
|
2
|
8
|
En este caso, el primer número tiene 5 centenas de millar y el segundo 2, luego el primero es mayor.Si un número no tiene centena de millar es como si ésta fuera cero.
CM
|
DM
|
UM
|
C
|
D
|
U
| |
8
|
6
|
.
|
2
|
3
|
6
| |
3
|
2
|
7
|
.
|
4
|
1
|
3
|
En este caso, el primer número no tiene centenas de millar (es igual a 0) y el segundo 3, luego el segundo es mayor.Si los dos números tienen la misma centena de millar, tenemos que comparar la decena de millar, aplicando el mismo procedimiento.
Y si tuvieran la misma decena de millar, tendríamos que comparar la unidad de millar. Y si también tuvieran la misma unidad de millar, habría que comparar las centenas, y si también coincidieran habría que comparar las decenas, y si también fueran iguales las unidades.
CM
|
DM
|
UM
|
C
|
D
|
U
| |
8
|
2
|
1
|
.
|
3
|
7
|
2
|
8
|
2
|
1
|
.
|
3
|
7
|
1
|
En este ejemplo, los dos números tienen la misma centena de millar, la misma decena de millar, la misma unidad de millar, la misma centena y la misma decena. Sólo se diferencian en la unidad: el primero tiene 2 y el segundo 1, luego el primer número es mayor.
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